【大学受験】数学の応用問題が解けない!?~「パターン認識」と「帰納と演繹」を意識しろ!~【数学】

2019年9月21日

 

 どうも!地頭コーチのSHUです!

受験勉強、特に数学や理科は応用問題でつまづきがちですよね…。

僕自身それにはずっっっっと悩まされてきました。

「一晩寝て起きたら応用問題ができるようになる魔法のやり方があるんじゃないか…」

そんなことを思ったこともありました。

ですが、

「問題を見ても全く方針が浮かばない」

「問題が理解できない」

そのような原因で「応用問題が解けない」「初見の問題を見るとパニックになる」という悩みを解決する魔法は残念ながら存在しません

ですが、ちゃんと勉強することで解決できるのです。

その方法、気になりますよね???

それは

 

・・・

 

パターン認識

帰納と演繹

の2つを意識して問題に当たっていくことです。

実はこれら、勉強のできる多くの人は意識的に取り組んでいるのですが、正直そう言われてもなかなかピンと来ないのではないでしょうか?

みなさんの意識にこれらを植え付け、応用問題を解けるようにするために、この「パターン認識」と「帰納と演繹」を理系科目(主に数学)の勉強の観点で解説していきます。

 

パターン認識とは?


パターン認識とはあるものを見たときに「あ、これは〇〇だな!」と気づくことです。

「気づき」があるかないかで応用問題が解けるか解けないかが決まります。

この気づきを得るためには

・公式(法則、理論)を直感的に理解する

・基本問題で公式(法則、理論)を使えるようにする

・典型問題で基本的なアプローチを知る

・応用問題の思考力を鍛える

といったステップを踏むことが一番オーソドックスですが、確実です。

基本的なことを着実にこなす、これが結局は一番大事なのです。

公式を知る

問題を解く上で公式を知らない事には正直なにもできません。

できなくはありませんが、恐ろしく効率が悪くなります。

ですので、まずは教科書等を利用して基本的な公式や定義を知りましょう。

知る、といっても単に覚えるだけではダメです。

公式を見たときに「あ、これ当たり前じゃん」と直感的に理解できるレベルまで証明を確認したり、自分でやってみたり、公式を何回か使ってみることで達しましょう。

例えば、展開や因数分解の公式は中学時代からの付き合いだから「分かるわ~楽勝だわ~」となると思いますが、三角関数や微積分、ベクトルや数列の言葉の定義や公式となるとなかなか一発で理解するのは難しいです。


「公式は自力で証明できないといけない」

そんな風によく言われますが、公式の証明は大抵の場合、直感的に理解できていればその通りに手順を踏むだけです。

ですので、公式が直感で理解できない場合はまず公式を覚えてしまい、それを基本的な計算問題を通して具体的な例から理解しましょう。

最重要なのは公式の理解ですので、その目的は絶対に忘れないでください。

基本問題に触れる


「これは当たり前だな」と思える程度に公式を理解したら、基本問題を解いてみましょう。

ここで言う基本問題とは、教科書の例題、サクシードや4STEPの各章の最初にあるような問題です。

つまり、公式をただあてはめて計算するだけの問題ということです。

これらの問題を解くことのメリットとして、

・公式を覚えられる

・計算スピードが上がる

・公式の理解の補助になる

といったものがあります。

当たり前に分かる問題だからこそ、ちゃんと解くことで基盤となる原理の理解が深まっていくのです。

公式の直感的理解と基本的な計算力がない状態では先のステップに進んでもあまり効果がありません。

典型問題で基本的なアプローチを知る

教科書に載っているような公式が直感的に理解できるようになり、計算もある程度できるようになったら典型的なパターンを潰していきましょう。

教科書の応用例題や章末問題、チャート式、一対一対応といった公式や考え方の典型的な利用パターンを取り扱ったものに取り組んでいきましょう。

この時絶対に意識してほしいのは、

一問一問を別物だと思わない

という事です。

言い換えれば、

問題ごとの共通項を探せ

という事です。

例えば、

「ある学校では昨年度から男子の生徒数が3%、女子の生徒数は7%増加し、…」

という問題と

「ある2桁の自然数Nは1の位の数と10の位の数の和が8であり、1の位の数と10の位の数を入れ替えると、…」

という問題は、それぞれ別の物として考えてしまうと「男子生徒の数をx、女子生徒の数をyとおいて…」「1の位をa、10の位をbとおいて…」という考えになってしまい、応用問題は解けないままです。

ですが、これらの問題の共通項を探るとどうなるでしょうか?

A⋂Bは「未知数が2個」!

そう、

未知数が2個

ですよね。

つまり、ここで覚えておきたいのは男子生徒数や各位の数を文字でおく、というのではなく

未知数を文字でおいて、それらの満たす式を作る

という思考パターンです。

連立方程式程度であれば多くの人は問題なくこのように思考パターンを学習するのですが、これが数学Ⅲの微積分といったものになると急に問題ごとに解法を暗記しにいきます。

それではどんなに頑張っても応用問題は解けるようにはなりません

いわゆる「典型問題」を解くときには、

覚えるパターンをより洗練されたもの(抽象的なもの)にし、

どうやったら別の問題でも再現できるか

を意識しておくと問題を解く力は伸びていきます。

いいですか?

思考パターン

を覚えておくのです!

応用問題を解く思考力を鍛える

実は、一つ前の章で上げたことを意識して勉強するだけで応用問題はそこそこ解けるようになっています。

というのも、パターンがしっかり理解された状態で頭に入っていればパッと見て「〇〇のパターンだ!」と分かるような問題にはすぐ対応できるようになるからです。

???「あっ!これ進研ゼミで習ったやつだ!」

ですが、パッと見ても「え?なにこれ?情報多すぎない?めっちゃ複雑じゃね?」という問題にはなかなか対応できるようになりません。

そこで、もう1ランク実力を上げるための秘密があるのです…。

それが、

帰納と演繹

です!

帰納と演繹とは?

まず、帰納法と演繹法とはこのような意味です。

 
帰納法: 類似事例をもとにして、一般的法則や原理を導き出す推論法のこと。
演繹法: 前提となる事柄をもとに、そこから確実に言える結論を導き出す推論法のこと。
(引用:コトバンク https://kotobank.jp/word/帰納法-178743, https://kotobank.jp/word/演繹法-178726)

これを図にすると下のようになります。

具体例から共通する物を取り出して抽象的な理論を作るのが「帰納」、逆に抽象的な理論を具体例に当てはめていくことを「演繹」と呼んでいるのです。

受験勉強における「帰納」


この「帰納」の考え方は、先ほど解説した「基本問題を解く」部分の「問題ごとの共通項を探す」という考え方そのものです。

基本問題や典型問題を解いていく中で

「これらの問題をまとめて説明する理屈はないか」

「どこに着目して、どのように言い換えるか」

といった点を意識すると問題の背景に潜む理屈に気づけるようになります。

僕の友人は数学の問題を解く度に

「問題文である表現を見たらこう変形する」というパターンを演習の度に抜き出してメモしていました。(ちなみに彼は現役東大生です。)

たとえば、

・自然数n→数学的帰納法を疑え

・円の接線→傾きmの定点を通る直線、円上の接線の公式

といった要領です。

こういった抽象的な考え方は「共通したアプローチは何か」ということを常に意識した結果得られた、と彼は語っていました。

そうして抽出した理屈を具体的な問題に当てはめて何度も練習し、定着させることで成績は爆発的に伸び、その友人は夏の東大模試で総合トップ50に入っていたそうです。

受験勉強における「演繹」とは?


演繹の定義に帰れば「前提となる事柄を元に結果を導き出すこと」、つまり受験勉強に当てはめれば「抽象的な解法、理屈を具体的な問題に当てはめる」ということですよね。

これはまさしく先の友人が行っていた方法です。

単に「成績を上げる」という目的ならば、自力で理屈を抽出するよりもこの演繹のトレーニングが重要だといっても過言ではありません。

また、「いくら考えても理屈なんて抽出できねえよ!」という方にも演繹のトレーニングが最適だと思います。

なぜなら、わざわざ自力で理屈を見つけなくても「理屈を知っている人」から教えてもらい、その理論をまずは理解すればいいからす。

その理論を定着させるために、具体的な問題にあてはめ、実際に手を動かしてみることで理解していけばよいのですし、そうした「当てはめる力」が受験では最も役立つかもしれません。

まとめ

それでは今回の記事のまとめです!

・応用問題を解くためには「パターン認識」と「帰納と演繹」を意識すると良い

・パターン認識をするにはできるだけ抽象的な思考パターンを覚えるようにする

・解いた問題をまとめて説明する理論を探すと普遍的な、抽象的な思考パターンを抽出できる

・抽出された理屈を理解し、(理解を深めるために、)具体的な問題に当てはめる「演繹のトレーニング」が受験勉強では重要になってくる

なんにせよ多くの問題に当たる必要はありますし、そんな簡単に応用問題が解けるようにはなりません。半年はかかると思ってください。

バカみたいだと思うかもしれません。ですが、現に応用問題ができなくて困っているのなら、解けるようになって圧倒的な成績を手に入れたいのなら、半年くらい頑張りませんか?

長いけれどしっかりステップを踏めば大丈夫なのですから、頑張っていきましょう!

今回も読んでいただきありがとうございました!

それでは!