東大数学2009解説 理系&文系大問3⃣確率 


どうも!地頭コーチSHUです!

今回はいつもと違って勉強法の紹介ではなく、入試数学の解説をしようと思います。

この企画では、入試標準~発展レベルの入試問題をメインに扱っていくつもりです。

ということで今回は

「東京大学2009数学第3問 確率」

を解説していこうと思います!難易度は標準です。

↓問題はこちら↓

東大数学2009大問3⃣ 解答

1.方針

パッと見3パターンの操作があるようですが、きちんと問題文を理解し、整理すると実質2パターンの操作しかないことが分かります。

操作(A)、操作(B)は実質的に同じですよね。LとRの対称性、とでもいうのでしょうか。まぁなんにせよ、これらは同じものとして考えてよさそうです。

(C)を見た感じ、ある色の玉が1個目はL、2個目以降はRに入ると捉えてよさそうですね。

(1)~(3)それぞれの条件について「どのような順番で色が出現するか」という場合の数を考えることにしましょう。

2.解答

(1) まず、Lに4色の玉が入る確率を$$p$$と定める。出る順番を考慮した時の玉の色の出方は全部で$$4^5$$通りあり、これらは同様に確からしい。このうち、題意を満たす玉の出方は「4色のうち、1色が2回、その他3色は1回出る」場合である。

2回出る1色の選び方は、$$ {}_4 \mathrm{C} _1 $$通りあり、その各々に対して玉の出方は$$ \frac{5!}{2!} $$通りあるから、Lに4色すべての玉が入っているような場合の数は$$ {}_4 \mathrm{C} _1 \times \frac{5!}{2!} = 4^2\times15 $$通り存在する。

従って、$$
\begin{align}
p&=\frac{4^2 \times 15}{4^5}\\
&=\frac{15}{4^3}
\end{align}
$$である。

操作(A)、(B)の対称性から、Rに4色全ての玉が入る確率とLにおけるそれは等確率。

以上より、$$ P_1=p^2=\frac{225}{4096} ・・・(答) $$

(2) Lに4色入る、という事は5回の操作の結果、4色すべての玉が少なくとも1回出ていれば良い。

すなわち、求める確率は操作(A)を5回行ったとき、Lに4色すべての玉が入っている確率と等しいから、(1)の結果を利用して$$ P_2=p=\frac{15}{64} ・・・(答)$$

(3) 「操作(C)を10回行った後、LとR共に4色すべての玉が入っている」⇔「10回の操作で、4色すべての色の玉が少なくとも2回以上出ている」

であり、この事象を(X)とする。

操作(C)を10回行ったとき、出る順番を考慮した時の玉の出方は全部で$$ 4^{10} $$通りあり、これらは同様に確からしい。

LにもRにも4色すべての玉が入っているような場合は、

(a) (X)かつ「2色が各3回出る」
(b) (X)かつ「1色だけが4回出る」

の2通りある。(a)(b)それぞれに対する玉の出方は、(1)と同様に考えて

$$  {}_4 \mathrm{C} _2 \times \frac{10!}{(2!)^2×(3!)^2} 通り・・・(a) $$
$$  {}_4 \mathrm{C} _1 \times \frac{10!}{4!×(2!)^3} 通り・・・(b) $$

である。(a)(b)排反なので、LにもRにも4色すべての玉が入っているような場合の数は

$$ {}_4 \mathrm{C} _2 \times \frac{10!}{(2!)^2×(3!)^2} + {}_4 \mathrm{C} _1 \times \frac{10!}{4!×(2!)^3} = {3^4} \times {4^2} \times {5^2} \times {7}通り$$

である。以上より、

$$ \begin{align}
P_3&=\frac{{3^4} \times {4^2} \times {5^2} \times {7}}{4^{10}}
&=\frac{{3^4} \times {5^2} \times {7}}{4^8}
\end{align}$$

を得る。(1)の結果と合わせて、

$$\begin{align}
\frac{P_3}{P_1}&=\frac{{3^4} \times {5^2} \times {7}}{4^8} \times \frac{4^6}{{3^2} \times {5^2}}\\
&=\frac{63}{16} ・・・(答)
\end{align}$$

3.解説

では、この問題を解く上で大事なポイントを解説していこうと思います。

この問題は、扱っている事象そのものはそんなに難しくありませんが、いかんせん数字が大きく、計算でのミスが多発します。ですので、「いかにして計算を減らすか」を意識して問題を把握することが大事になってきます。

「計算を減らす」ということを意識して問題文を読んでみると「1.方針」でも示した通り、実は操作(A)と(B)は対称、すなわち(1)と(2)はほぼ同じ問題だということに気づけます。

これが見抜けるかどうかで答案(≒計算量)がスマートになりますね。これが今回は1番大きなポイントと言えるでしょう。

ここからは、ちょっと難しいので意欲的な方のみお読みください。

今回は確率の問題だということで

$$ 「すべての根源事象が同様に確からしい時」P(A)=\frac{事象Aの起こる場合の数}{起こりえるすべての場合の数}$$

という確率の定義式を用いましたが、「確率の掛け算(乗法定理)」を用いて解くことも不可能ではありません。

ただし、(1)~(3)いずれの場合も色が重複するため、「何回目で色が重複するか」ということに注意します。

例えば、「2回目で色が重複する時」の確率を$$a_2$$として考えると、この時

  • 1回目の色は任意
  • 2回目の色は1回目と同じ
  • 3~5回目の色は、各回でまだ出ていない色

という事になります。従って、$$ \begin{align}
p&=\sum_{k=2}^{4}{a_k}\\
  &=\frac{6(1+2+3+4)}{4^4}\\
  &=\frac{15}{64}
\end{align}$$を得ます。同様に$$a_3$$を考えると

  • 1回目の色は任意
  • 2回目の色は1回目とは異なる色
  • 3回目の色は1,もしくは2回目と同じ色
  • 4,5回目の色は1,2,(3)回目とは異なり、かつ互いに異なる

となるので、$$a_3=\frac{4}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{6\times2}{4^4}$$ 4,5回目で色が重複する場合も同様に考えれば、
$$ p=\sum_{k=2}^{5}{a_k}=\frac{6(1+2+3+4)}{4^4}=\frac{15}{64}  (ただし、pは解答で定めた通りとする) $$

ここから(1)、(2)の答えは <得られますが、これを(3)においても実行するのはなかなか効率が悪いと言えます。

このように、別解を考えてみると今回は素直に「場合の数を数える」作戦がよさそうだと分かりますね。

また、(3)の求値なんですが、パッと見たところ「ん?条件付き確率かな?」と思うかもしれません。

ですが、この値が1より大きい事から求値は条件付きではなさそうです。

でも、よく考えてみると求値の逆数である$$\frac{P_1}{P_3}$$というのは1より小さいですし、分母の事象に分子の事象が含まれるので何らかの条件付き確率と考えることも不可能ではありませんが、求めるのは大変そうです。

やはり(3)も素直に「場合の数を数える」作戦で行くのが得策でしょう。

まとめ

今回は「東大数学2009 文理第3問 確率」を解説しました。

ポイントとしては

  • 計算量を減らせないか意識して問題文を読む
  • 丁寧に計算する
  • 別解を考えてみて、自分の取った戦略がベストだったか確認する

といったあたりです。 解けた人はとりあえずOK!しっかり復習しよう! 「解けなかった…」って人は解答を理解したらしっかり解きなおしてみよう! それでは!!!

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